如图,在四棱锥ABCD-PGFE中,底面ABCD是直角梯形,侧棱垂直于底面,AB//DC,∠ABC=45o,DC=1,AB=2,PA=1.(Ⅰ)求PD与BC所成

如图,在四棱锥ABCD-PGFE中,底面ABCD是直角梯形,侧棱垂直于底面,AB//DC,∠ABC=45o,DC=1,AB=2,PA=1.(Ⅰ)求PD与BC所成

题型:不详难度:来源:
如图,在四棱锥ABCD-PGFE中,底面ABCD是直角梯形,侧棱垂直于底面,AB//DC,∠ABC=45o,DC=1,AB=2,PA=1.

(Ⅰ)求PD与BC所成角的大小;
(Ⅱ)求证:BC⊥平面PAC;
(Ⅲ)求二面角A-PC-D的大小.
答案
(1)60o
(2)根据题意,由于BC⊥AC,且有PA⊥BC,则可以根据线面垂直的判定定理来得到结论。
(3)60 
解析

试题分析:(Ⅰ)取的AB中点H,连接DH,易证BH//CD,且BD="CD" 1分
所以四边形BHDC为平行四边形,所以BC//DH
所以∠PDH为PD与BC所成角2分
因为四边形,ABCD为直角梯形,且∠ABC=45o, 所以DA⊥AB
又因为AB=2DC=2,所以AD=1, 因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都为等腰直角三角形,所以PD=DH=PH=,故∠PDH=604分
(Ⅰ)连接CH,则四边形ADCH为矩形, ∴AH=DC  又AB=2,∴BH=1
在Rt△BHC中,∠ABC=45o , ∴CH=BH=1,CB= ∴AD=CH=1,AC=
∴AC2+BC2=AB2   ∴BC⊥AC……6分 又PA平面ABCD∴PA⊥BC ……7分
∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC  8分
(Ⅲ)如图,分别以AD、AB、AP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则由题设可知:

A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),D(1,0,0),
=(0,0,1),=(1,1,-1) 9分
设m=(a,b,c)为平面PAC的一个法向量, 则,即
,则,∴m=(1,-1,0)  10分
同理设n=(x,y,z) 为平面PCD的一个法向量,求得n=(1,1,1) 11分
 12分
所以二面角A-PC-D为60 13分
点评:主要是考查了空间中线面角和二面角的平面角的求解,以及线面垂直的判定,属于基础题。
举一反三
如图,菱形的边长为6,,.将菱形沿对角线折起,得到三棱锥 ,点是棱的中点,.

(1)求证:
(2)求三棱锥的体积.
题型:不详难度:| 查看答案
如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,
的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.

(Ⅰ) 证明:平面
(Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,

(I)求证
(II)
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,的中点,交于点,将沿折起,得到如图所示的三棱锥,其中

(1) 证明://平面
(2) 证明:平面
(3) 当时,求三棱锥的体积
题型:不详难度:| 查看答案
已知三棱柱
A.B.C.D.

题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.