(1)过AF、AB作平面β交PC于点G,连FG、EG,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021005259-29489.gif) ∵四边形ABCD是矩形,点E在边AB上,∴EA∥CD, ∴EA∥平面PCD, ∴EA∥FG∥CD, ∵AF∥平面PCE,∴AF∥EG, 则四边形AEGF是平行四边形 又∵F为PD的中点,∴EA=FG= CD, 则点E是边AB的中点. (2)延长CE、DA交于点H,作AM⊥HC,垂足为点M;连接AM、PM,作AN ⊥PM,垂足为点N.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥HC,则HC⊥平面PAM, ∴HC⊥AN,则AN ⊥平面PEC;又∵AF∥平面PCE,∴线段AN的长是直线AF到平面PCE的距离. ∵二面角P-CD-B为450,可证得∠PAD就是二面角P-CD-B的平面角, ∴∠PAD=450. 在Rt△PAD中,∵AD=2,∴PA="2." 又在Rt△HCD中,∵EA = CD,CD=3,∴AH= AD=2. ∵AM⊥HC,∴Rt△HCD∽Rt△HAM,可求得AM= . 在Rt△PAM中,∵S△PAM= PA•AM= AN•PM,∴AN= . 解法二:以点A为原点,分别以AB、AD、AP所在直线为X、Y、Z轴,建立空间直角坐标系(如图所示),由已知可得A(0,0,0),B(3,0,0),D(0,2,0),C(3,2,0), ∵二面角P-CD-B为450,可证得∠PAD就是二面角P-CD-B的平面角,∴∠PAD=450. 在Rt△PAD中, AD=2,∴PA=2,则P(0,0,2) 又∵F为PD的中点,∴F(0,1,1) 则 =(0,1,1), =(3,2,-2) ∵点E在边AB上,∴设E(λ,0,0), 则 =(3-λ,2,0) 设平面PEC的法向量 =(x,y,z),由 • =0得(3-λ)x+2y=0, 由 • =0得3x+2y-2z=0,解得y= ,z= ; 令x=2,得 =(2,λ-3,λ) (1)∵AF∥平面PCE,∴ • =0,即λ-3+λ=0,∴λ=![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021005301-23353.gif) 则点E是边AB的中点. (2)∵AF∥平面PCE,∴直线AF到平面PCE的距离等于点A到平面PCE的距离d,则d= = =![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021005300-50004.gif) |