如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC.(1)求证:BC⊥平面
题型:不详难度:来源:
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC. (1)求证:BC⊥平面PAC; (2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值; (3)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角?并说明理由. |
答案
解:(1)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又∠BCA=90°, ∴AC⊥BC,∴BC⊥平面PAC. (2)∵D为PB的中点,DE∥BC,∴DE=BC. 又由(1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E,∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角. ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB.又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形, ∴AD=AB.在Rt△ABC中,∠ABC=60°,∴BC=AB,∴在Rt△ADE中,sin∠DAE===, 即AD与平面PAC所成角的正弦值为. (3)∵DE∥BC,又由(1)知,BC⊥平面PAC, ∴DE⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC,PE⊂平面PAC∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角. ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC, ∴∠PAC=90°,∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC.这时,∠AEP=90°, 故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角. |
解析
略 |
举一反三
如图,正方体中,点在上运动,给出下列四个命题: ①三棱锥的体积不变; ②⊥; ③∥平面; ④平面; 其中正确的命题个数有( ) |