解法一: (Ⅰ)∵C1E⊥平面BDE, 在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2, ∴BC1=,A1C1=. 设AE=x,则BE=,C1E=, ∵BC=BE2+C1E2,∴5=1+x2+2+(2-x)2,解得x=1.……………………3分 连结D1E,由DE=EB=BD=,得 S△BDE=DE2=,S△DD1E=DD1·AD=1, 设点D1到平面BDE的距离为h,则由VD1—BDE=VB—DD1E, 得·h=·1·1,h=. 设直线BD1与平面BDE所成的角为θ, 因BD1=,则sinθ==.………………………………………………6分 (Ⅱ)分别取BE、CE的中点M、N,则MN∥BC,且MN=AB=. ∵BC⊥平面ABB1A1,BEÌ平面ABB1A1,∴BC⊥BE,∴MN⊥BE. ∵BE=BD=DE=,∴DM⊥BE,且DM=, ∴∠DMN为二面角C-BE-D的平面角.…………………………………………9分 又DN=EC=, ∴cos∠DMN==.…………………………………………12分 解法二: (Ⅰ)建立如图所示的坐标系D—xyz, 其中D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2),C1(0,1,2).设E(1,0,a),则 =(-1,1,2-a),=(1,1,0),=(1,0,a), ∵C1E⊥平面BDE,∴⊥, ∴·=-1+(2-a)a=0,解得a=1.……………………………………3分 ∴=(-1,1,1). 设直线BD1与平面BDE所成的角为θ, 因=(1,1,-2),则sinθ=|o(D1B,sup5(→EC1,sup5(→=.……………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ),=(-1,1,1)为面BDE的法向量, 设n=(x,y,z)为面CBE的法向量, ∵=(1,0,0),=(0,-1,1), ∴n·=0,n·=0, ∴x=0,-y+z=0,取n=(0,1,1),…………………………………………9分 ∴cosá,nñ=o(EC1,sup5(→________=, 所以二面角C-BE-D的余弦值为.……………………………………………12分 |