(本小题满分12分)如图,在体积为1的三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1=1,P为线段AB上的动点.(1)求证:CA
题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分) 如图,在体积为1的三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1=1,P为线段AB上的动点.
(1)求证:CA1⊥C1P; (2)当AP为何值时,二面角C1-PB1-A1的大小为? |
答案
(1)证明略 (2)2- |
解析
解:(1)证明:∵AA1⊥底面ABC,∴AA1⊥AC,AA1⊥AB. 又∵AB⊥AC, ∴以A为原点,AC,AB,AA1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系. 又∵VABC-A1B1C1=AB×AC×AA1=1,∴AB=2.(2分) 设AP=m,则P(0,m,0),而C1(1,0,1),C(1,0,0),A1(0,0,1), ∴=(-1,0,1),=(-1,m,-1), ∴·=(-1)×(-1)+0×m+1×(-1)=0, ∴CA1⊥C1P.(6分) (2)设平面C1PB1的一个法向量n=(x,y,z) 令y=1,则n=(2,1,m-2),(9分) 而平面A1B1P的一个法向量=(1,0,0), 依题意可知cos===, ∴m=2+(舍去)或m=2-. ∴当AP=2-时,二面角C1-PB1-A1的大小为.(12分) |
举一反三
(本小题满分12分) 如图,在三棱锥中,,,,,, 点,分别在棱上,且,
(I)求证:平面; (II)当为的中点时,求与平面所成的角的大小; (III)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由. |
对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件: ①存在平面γ,使得α、β都平行于γ; ②存在平面γ,使得α、β都垂直于γ; ③α内有不共线的三点到β的距离相等; ④存在异面直线l,m,使得l//α,l//β,m//α,m//β; |
如图,动点P在正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1上,过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面交于M、N,设BP=x,MN=y,则函数的图象大致是
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(本题满分12分) 如图所示的空间几何体,平面ACD⊥平面ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE和平面ABC所成的角为.且点E在平面ABC上的射影落在的平分线上。
(I)求证:DE//平面ABC; (II)求二面角E—BC—A的余弦; (III)求多面体ABCDE的体积。 |
三棱锥的两个面是边长为的等边三角形,另外两个面是等腰直角三角形,则这个三棱锥的体积为 |
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