解:(Ⅰ)在Rt△ABC中,AB=1,
∠BAC=60°,∴BC=,AC=2. 在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°, ∴CD=2,AD=4. ∴SABCD= .……………… 3分 则V=. ……………… 5分 (Ⅱ)∵PA=CA,F为PC的中点, ∴AF⊥PC. ……………… 7分 ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC. ∵E为PD中点,F为PC中点, ∴EF∥CD.则EF⊥PC. ……… 9分 ∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.…… 10分 (Ⅲ)证法一: 取AD中点M,连EM,CM.则EM∥PA. ∵EM 平面PAB,PA平面PAB, ∴EM∥平面PAB. ……… 12分 在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=AM=2, ∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,∴MC∥AB. ∵MC 平面PAB,AB平面PAB, ∴MC∥平面PAB. ……… 14分 ∵EM∩MC=M, ∴平面EMC∥平面PAB. ∵EC平面EMC, ∴EC∥平面PAB. ……… 15分 证法二: 延长DC、AB,设它们交于点N,连PN. ∵∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD, ∴C为ND的中点. ……12分 ∵E为PD中点,∴EC∥PN.……14分 ∵EC 平面PAB,PN 平面PAB, ∴EC∥平面PAB. ……… 15分 |