(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M、N分别为PA、BC的中点,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=,CD=1(1)证明:MN
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(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M、N分别为PA、BC的中点,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=,CD=1(1)证明:MN
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M、N分别为PA、BC的中点,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=
,CD=1
(1)证明:MN∥平面PCD;
(2)证明:MC⊥BD;
(3)求二面角A—PB—D的余弦值。
答案
略
解析
解:(1)证明:取AD中点E,连接ME,NE,
由已知M,N分别是PA,BC的中点,
∴ME∥PD,NE∥CD
又ME,NE
平面MNE,ME
NE=E,
所以,平面MNE∥平面PCD, 2分
所以,MN∥平面PCD 3分
(2)证明:因为PD⊥平面ABCD,
所以PD⊥DA,PD⊥DC,
在矩形ABCD中,AD⊥DC,
如图,以D为坐标原点,
射线DA,DC,DP分别为
轴、
轴、
轴
正半轴建立空间直角坐标系
则D(0,0,0),A(
,0,0),
B(
,1,0)
(0,1,0),
P(0,0,
) 5分
所以
(
,0,
),
,
6分
∵
·
=0,所以MC⊥BD 7分
(3)解:因为ME∥PD,所以ME⊥平面ABCD,ME⊥BD,又BD⊥MC,
所以BD⊥平面MCE,
所以CE⊥BD,又CE⊥PD,所以CE⊥平面PBD,
由已知
,所以平面PBD的法向量
M为等腰直角三角形PAD斜边中点,所以DM⊥PA,
又CD⊥平面PAD,AB∥CD,所以AB⊥平面PAD,AB⊥DM,
所以DM⊥平面PAB,
所以平面PAB的法向量
(-
,0,
) 9分
设二面角A—PB—D的平面角为θ,
则
.
所以,二面角A—PB—D的余弦值为
. 12分
举一反三
(本小题满分12分)
如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是
边长为2的菱形,
,E是CD的中点,PA
底面ABC
D,PA=4
(1)证明:若F是棱PB的中点,求证:EF//平面PAD;
(2)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小。
题型:不详
难度:
|
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已知点
在球心为
的球面上,
的内角
所对应的边长分别为
,且
,
,球心
到截面
的距离为
,则该球的表面积为
.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
如图,在四棱锥
中,底面
ABCD
为菱形,
底面
,
为
的中点,
为
的中点,求证:
(1)平面
;
(2)
.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分8分)如图,已知四棱锥
的
底面为直角梯形,
,
,
,
且
,M是
的中点。
(1) 证明:
;
(2) 求异面直线
所成的角的余弦值。
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分10分)如图,四棱锥
的底面是正方形,每条侧棱长都是底面边长的
倍,P为侧棱SD上的点。
(1)若
,求二面角
的大小;
(2)在侧棱SC上是否存在一点E,使得
,若存在,求
的值;若不存在,试说明理由。
题型:不详
难度:
|
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