(本题满分12分)在直角梯形PBCD中,,A为PD的中点,如下左图。将沿AB折到的位置,使,点E在SD上,且,如下右图。(1)求证:平面ABCD; (2)求二
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(本题满分12分)在直角梯形PBCD中,,A为PD的中点,如下左图。将沿AB折到的位置,使,点E在SD上,且,如下右图。(1)求证:平面ABCD; (2)求二
题型:不详
难度:
来源:
(本题满分12分)
在直角梯形PBCD中,
,A为PD的中点,如下左图。将
沿AB折到
的位置,使
,点E在SD上,且
,如下右图。
(1)求证:
平面ABCD;
(2)求二面角E—AC—D的正切值;
(3)在线段BC上是否存在点F,使SF//平面EAC?若存在,确定F的位置, 若不存在,请说明理由。
答案
,F(2,1,0)为BC的中点
解析
解法一:(1)证明:在上左图中,由题意可知,
为正方形,
所以在上右图中,
,
四边形ABCD是边长为2的正方形,
因为
,AB
BC,
所以BC
平面SAB, (2分)
又
平面SAB,
所以BC
SA,
又SA
AB,
所以SA
平面ABCD, (4分)
(2)在AD上取一点O,使
,连接EO。
因为
,所以EO//SA
所以EO
平面ABCD,
过O作OH
AC交AC于H,连接EH,
则AC
平面EOH,
所以AC
EH。
所以
为二面角E—AC—D的平面角,
在
中,
,
即二面角E—AC—D的正切值为
(9分)
(3)当F为BC中点时,SF//平面EAC,
理由如下:取BC的中点F,连接DF交AC于M,
连接EM,AD//FC,
所以
,又由题意
SF//EM,又
平面EAC,
所以SF//平面EAC,即当F为BC的中点时,
SF//平面EAC (12分)
解法二:(1)同方法一(4分)
(2)如图,以A为原点建立直角坐标系,
A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),S(0,0,2),E(0,
)
易知平面ACD的法向为
设平面EAC的法向量为
由
,
所以
,可取
所以
(7分)
所以
所以
即二面角E—AC—D的正切值为
(9分)
(3)设存在
,
所以SF//平面EAC,
设
所以
,由SF//平面EAC,
所以
,所以
0,
即
,即F(2,1,0)为BC的中点 (12分)
举一反三
若某几何
体的三视图(单位:cm)如图所示,则此
几何体的体积是
题型:不详
难度:
|
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如图①,
,
分别是直角三角形
边
和
的中点,
,沿
将三角形
折成如图②所示的锐二面角
,若
为线段
中点.求证:
(1)直线
平面
;(6分)
(2)平面
平面
.(8分)
题型:不详
难度:
|
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(本小题12分)
图甲是一个几何体的表面展开图,图乙是棱长为
的正方体。
(Ⅰ)若沿图甲中的虚线将四个三角形折叠起来,使点
、
、
、
重合,则可以围成怎样的几何体?请求出此几何体的体积;
(Ⅱ)需要多少个(I)的几何体才能拼成一个图乙中的正方
体?请按图乙中所标字母写出这几个几何体的名称;
(Ⅲ)在图乙中,点
为棱
上的动点,试判断
与平面
是否垂直,并说明理由。
题型:不详
难度:
|
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高为5,底面边长为4
的正三棱柱形容器(下有底),可放置最大球的半径是
A.
B.2
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
如图,在六面体ABC-DEFG中,平面
∥平面
,
⊥平面
,
,
,
∥
.且
,
.
(1)求证:
∥平面
;
(2)求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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