如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是CD的中点，PA底面ABCD，。（I）证明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角A—BE—P和的大小。

题型：不详难度：来源：

如图所示，四棱锥

的底面

是边长为1的菱形，

，
E是CD的中点，PA

底面ABCD，

。
（I）证明：平面PBE

平面PAB；
（II）求二面角A—BE—P和的大小。

答案

（I）同解析（II）二面角

的大小为

解析

解：解法一（I）如图所示, 连结

由

是菱形且

知，

是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以

又

所以

又因为PA

平面ABCD，

平面ABCD，
所以

而

因此

平面PAB.
又

平面PBE，所以平面PBE

平面PAB.
（II）由（I）知，

平面PAB,

平面PAB, 所以

又

所以

是二面角

的平面角．
在

中,

．
故二面角

的大小为

解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是

（I）因为

平面PAB的一个法向量是

所以

和

共线.
从而

平面PAB. 又因为

平面PBE，所以平面PBE

平面PAB.
（II）易知

设

是平面PBE的一个法向量,
则由

得

所以

故可取

而平面ABE的一个法向量是

于是,

．
故二面角

的大小为

举一反三

设球

的半径是1，

、

是球面上三点，已知

到

、

两点的球面距离都是

，且二面角

的大小是

，则从

点沿球面经

、

两点再回到

点的最短距离是（　　）

A．	B．
C．	D．

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（本小题满分12分）

如图，在几何体

中，四边形

为矩形，

平面

，

。
(1)当

时，求证：平面

平面

；
(2)若

与

所成角为45°，求几何体

的体积。

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如图，二面角D—AB—E的大小为

，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
⑴求证AE⊥平面BCE；
⑵求二面角B—AC—E的正弦值；
⑶求点D到平面ACE的距离.

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（本小题满分14分）
如图：在四棱锥

中，底面ABCD是菱形，

，

平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中

点，且

（I）证明：

平面AMN；
（II）求三棱锥N

的体积；
（III）在线段PD上是否存在一点E，

使得

平面ACE；若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由。

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（本题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

E是BC的中点。
（1）求异面直线AE与A₁C所成的角；
（2）若G为C₁C上一点，且EG⊥A₁C，试确定点G的位置；

（3）在（2）的条件下，求二面角A₁-AG-E的大小

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