(本小题满分12分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问6分.)如图(20)图,为平面,AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′,B′,AA′=3,BB′=2.若二面角的

(本小题满分12分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问6分.)如图(20)图,为平面,AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′,B′,AA′=3,BB′=2.若二面角的

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问6分.)
如图(20)图,为平面,AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′,B′,AA′=3,BB′=2.若二面角的大小为,求:
(Ⅰ)点B到平面的距离;
(Ⅱ)异面直线lAB所成的角(用反三角函数表示).
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)arcsin
解析
本题主要考查立体几何中的主干知识,如线线角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。解题的关键是线面平行、三垂线定理等基础知识,本题属中等题。
(1)过点B′作直线B′CA′A且使B′C=A′A.过点BBDCB′,交CB′的延长线于D.
由已知AA′⊥l,可得DB′⊥l,又已知BB′⊥l,故l⊥平面BB′D,得BDl又因BDCB′,从而BD⊥平面α,BD之长即为点B到平面α的距离.
B′ClBB′l,故∠BB′C为二面角α-l-β的平面角.由题意,∠BB′C=.因此在Rt△BB′D中,BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=,BD=BB′·sinBB′D=.
(Ⅱ)连接ACBC.因B′CA′AB′C=A′AAA′l,知A′ACB′为矩形,故ACl.所以∠BAC或其补角为异面直线lAB所成的角.
在△BB′C中,B′B=2,B′C=3,∠BB′C=,则由余弦定理,
BC=.
BD平面,且DCCA,由三垂线定理知ACBC.
故在△ABC中,BCA=sinBAC=.
因此,异面直线lAB所成的角为arcsin
举一反三
(本题满分14分)右图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,平面
,且,(1)求证:BE//平面PDA;
(2)若N为线段的中点,求证:平面
(3)若,求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小.
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(本小题满分12分)
如图,平面平面,四边形都是直角梯形,

(Ⅰ)证明:四点共面;
(Ⅱ)设,求二面角的大小。
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(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱中,平面侧面。
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ,试判断θφ的大小关系,并予以证明。
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连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4的球的两条弦的长度分别等于分别为的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题:
①弦可能相交于点        ②弦可能相交于点
的最大值为5                    ④的最小值为1
其中真命题的个数为
A.1个B.2个C.3个D.4个

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如图1,一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块,容器内盛有升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置,水面也恰好过点(图2)。有下列四个命题:
A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B.将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点
C.任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点
D.若往容器内再注入升水,则容器恰好能装满
其中真命题的代号是:             (写出所有真命题的代号)。
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