如图所示,在直角梯形ABCP中,AB=BC=3,AP=7,CD⊥AP,现将沿折线CD折成60°的二面角P—CD—A,设E,F,G分别是PD,PC,BC的中点。(

如图所示,在直角梯形ABCP中,AB=BC=3,AP=7,CD⊥AP,现将沿折线CD折成60°的二面角P—CD—A,设E,F,G分别是PD,PC,BC的中点。(

题型:不详难度:来源:
如图所示,在直角梯形ABCP中,AB=BC=3,AP=7,CD⊥AP,现将沿折线CD折成60°的二面角P—CD—A,设E,F,G分别是PD,PC,BC的中点。
(I)求证:PA//平面EFG;
(II)若M为线段CD上的一个动点,问当M在什么位置时,MF与平面EFG所成角最大。

答案
(Ⅰ)见解析   (Ⅱ) M为线段CD中点时 ,最大
解析
方法一:  (I)证明:平面PAD,
                 2分
过P作AD的垂线,垂足为O,则PO平面ABCD。
过O作BC的垂线,交BC于H,以OH,OD,OP为x
轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
是二面角P—PC—A的平面角,



                                    4分
设平面EFG的一个法向量为
             6分

故PA//平面EFG。                         7分
(II)解:设M(x,2,0),则,                    9分
设MF与平面EFG所成角为
               12分
故当取到最大值,则取到最大值,此时点M为线段CD的中点。14分
方法二:
(I)证明:取AD的中点H,连结EH,HG。                               2分[
H,G为AD,BC的中点,∴HG//CD,又EF//CD。∴EF//HG,
∴E,F,G,H四点共面
又∵PA//EH,EH平面EFGH,PA平面EFGH,∴PA//平面EFG。   7分

(II)解:过M作MO⊥平面EFG,垂足O,连结OF,
即为MF与平面EFG所成角,因为CD//EF,
故CD//平面EFG,故CD上的点M到平面EFG的距离
MO为定长,故要使最大,只要MF最短,故当
时,即M为线段CD中点时 ,最大。              14分
举一反三
如图,在长方体中,点在棱的延长线上,


(Ⅰ) 求证://平面 ;(Ⅱ) 求证:平面平面
(Ⅲ)求四面体的体积.
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(本题满分12分)如图,ABCD是边长为2的正方形,ED⊥平面ABCDED=1,EFBDEFBD
(1)求证:BF∥平面ACE;(2)求二面角BAFC的大小;
(3)求点F到平面ACE的距离.
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对于四面体ABCD,下列命题正确的是         (写出所有正确命题的编号)。
①相对棱ABCD所在的直线异面;
②由顶点A作四面体的高,其垂足是BCD的三条高线的交点;
③若分别作ABCABD的边AB上的高,则这两条高所在直线异面;
④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点;
⑤最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。
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如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1AD1A1D相交于点O

(1)判断AD1与平面A1B1CD的位置关系,并证明;
(2)求直线AB1与平面A1B1CD所成的角.
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(本小题满分12分)已知ABCD是矩形,EF分别是线段ABBC的中点,ABCD.  (1)证明:PFFD
(2)在PA上找一点G,使得EG∥平面PFD.
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