本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识,考查空间想象能力和推理运算能力,满分12分. 解法一:(I)连结A1B,则A1B是D1E在面ABB1A;内的射影 ∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1, 于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF. 连结DE,则DE是D1E在底面ABCD内的射影. ∴D1E⊥AFDE⊥AF. ∵ABCD是正方形,E是BC的中点. ∴当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF, 即当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F.…………6分 (II)当D1E⊥平面AB1F时,由(I)知点F是CD的中点. 又已知点E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD. 连结AC, 设AC与EF交于点H,则CH⊥EF,连结C1H,则CH是 C1H在底面ABCD内的射影. C1H⊥EF,即∠C1HC是二面角C1—EF—C的平面角. 在Rt△C1CH中,∵C1C=1,CH=AC=, ∴tan∠C1HC=. ∴∠C1HC=arctan,从而∠AHC1=. 故二面角C1—EF—A的大小为. 解法二:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 (1)设DF=x,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0), A1(0,0,1),B(1,0,1),D1(0,1,1),E,F(x,1,0)
(1)当D1E⊥平面AB1F时,F是CD的中点,又E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD. 连结AC,设AC与EF交于点H,则AH⊥EF. 连结C1H,则CH是C1H在底面ABCD内的射影. ∴C1H⊥EF,即∠AHC1是二面角C1—EF—A的平面角.
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