已知三棱锥P—ABC中,PC⊥底面ABC,AB=BC,D、F分别为AC、PC的中点,DE⊥AP于E.(1)求证:AP⊥平面BDE;
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已知三棱锥P—ABC中,PC⊥底面ABC,AB=BC,
D、F分别为AC、PC的中点,DE⊥AP于E. (1)求证:AP⊥平面BDE; (2)求证:平面BDE⊥平面BDF; (3)若AE∶EP=1∶2,求截面BEF分三棱锥 P—ABC所成两部分的体积比. |
答案
(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)证明见解析(Ⅲ)两部分体积的比为1∶2或2∶1 |
解析
(1)∵PC⊥底面ABC,BD平面ABC,∴PC⊥BD. 由AB=BC,D为AC的中点,得BD⊥AC.又PC∩AC=C,∴BD⊥平面PAC.又PA平面、PAC,∴BD⊥PA.由已知DE⊥PA,DE∩BD=D,∴AP⊥平面BDE. (2)由BD⊥平面PAC,DE平面PAC,得BD⊥DE.由D、F分别为AC、PC的中点,得DF//AP. 由已知,DE⊥AP,∴DE⊥DF. BD∩DF=D,∴DE⊥平面BDF. 又DE平面BDE,∴平面BDE⊥平面BDF. (3)设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2.则 h1∶h2=EP∶AP=2∶3,
故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1 |
举一反三
如图,几何体ABCDE中,△ABC是正三角形,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F、G分别为EB和AB的中点. (1)求证:FD∥平面ABC; (2)求证:AF⊥BD; (3) 求二面角B—FC—G的正切值. |
如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱 CD上的动点. (I)试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F; (II)当⊥平面AB1F时,求二面角C1—EF—A的大小(结果用反三角函数值表示). |
如图,在五面体,ABCDF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面ABF是等边三角形,棱EF=. (1)证明EO∥平面ABF; (2)问为何值时,有OF⊥ABE,试证明你的结论. |
已知,为上的点. (1)当; (2)当二面角——的大小为的值. |
如图,直二面角D—AB—E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F 为CE上的点,且BF⊥平面ACE. (Ⅰ)求证:AE⊥平面BCE; (Ⅱ)求二面角B—AC—E的余弦值; (Ⅲ)求点D到平面ACE的距离. |
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