本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系,异面直线所成的角,点面距离等基础知识;考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分. (Ⅰ)因为PC⊥平面ABC,AB平面ABC,所以PC⊥AB.………………………2分 △ABC中,AC=BC,且D为AB中点,所以CD⊥AB. 又PC∩CD=C,所以AB⊥平面PCD.…………………………………………4分 (Ⅱ)如图,取AC中点E,连结DE、PE,则DE∥BC, 所以∠PDE(或其补角)为异面直线PD与BC所成的角.…………………5分 因为BC∥DE,AC⊥BC,所以AC⊥DE; 又PC⊥平面ABC,DE平面ABC,所以PC⊥DE, 因为AC∩PC=C,所以DE⊥平面PAC, 因为PEC平面PAC,所以DE⊥PE.………6分 在Rt△ABC中,因为AC=BC=2,所以AB=2 在Rt△PCD中,因为PC=2,CD=AB=, 所以PD=. 在Rt△PDE中,因为DE=BC=1.所以cos∠PDE= 即异面直线PD与BC所成的角为arccos.……………………………8分 (Ⅲ)因为BC⊥AC,BC⊥PC,所以BC⊥平面PAC,所以平面PCM⊥平面BCM. 过点A作AN⊥CM交CM于N,则AN⊥平面BCM.…………………10分 在Rt△PAC中,AC=PC=2,所以AP=2,又AP=4AM,所以AM= △ACM中,∠MAC=45°,所以CM== 过M作MG⊥AC交AC于G,MG=AMsin45°=, 由MG·AC=AN·CM,得AN=. 所以点A到平面BCM的距离为.…………………………………12分 |