(1)证明∵PA=AB=2a,PB=2a,∴PA2+AB2=PB2, ∴∠PAB=90°, 即PA⊥AB.同理PA⊥AE.∵AB∩AE=A,∴PA⊥平面ABCDE.(2)∵∠AED=90°,∴AE⊥ED.∵PA⊥平面ABCDE,∴PA⊥ED. ∴ED⊥平面PAE,所以DE⊥AG。,为中点,所以AG⊥PE, ∴AG⊥平面PDE (3)∵∠AED=90°,∴AE⊥ED.∵PA⊥平面ABCDE, ∴PA⊥ED.∴ED⊥平面PAE.过A作AG⊥PE于G,过DE⊥AG, ∴AG⊥平面PDE.过G作GH⊥PD于H,连AH,由三垂线定理得AH⊥PD. ∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角. 在直角△PAE中,AG=a.在直角△PAD中,AH=a, ∴在直角△AHG中,sin∠AHG==. ∴二面角A-PD-E的正弦值为. (4)∵∠EAB=∠ABC=∠DEA="90°, " BC=DE=a,AB=AE=2a, 取AE中点F,连CF, ∵AF∥=BC,∴四边形ABCF为平行四边形 .∴CF∥AB,而AB∥DE,∴CF∥DE,而DE平面PDE,CF平面PDE, ∴CF∥平面PDE.∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离. ∵PA⊥平面ABCDE,∴PA⊥DE.又∵DE⊥AE,∴DE⊥平面PAE. ∴平面PAE⊥平面PDE.∴过F作FG⊥PE于G,则FG⊥平面PDE. ∴FG的长即F点到平面PDE的距离. 在△PAE中,PA=AE=2a,F为AE中点,FG⊥PE, ∴FG=a.∴点C到平面PDE的距离为a. |