如图,几何体是四棱锥,△为正三角形,.(1)求证:;(2)若∠,M为线段AE的中点,求证:∥平面.

如图,几何体是四棱锥,△为正三角形,.(1)求证:;(2)若∠,M为线段AE的中点,求证:∥平面.

题型:不详难度:来源:
如图,几何体是四棱锥,△为正三角形,.
(1)求证:
(2)若∠,M为线段AE的中点,求证:∥平面.
答案
(1)见解析 (2) 见解析
解析
本题考查直线与平面平行的判定,考查线面垂直的判定定理与面面平行的判定定理的应用,着重考查分析推理能力与表达、运算能力,属于中档题.
(1)设BD中点为O,连接OC,OE,则CO⊥BD,CE⊥BD,于是BD⊥平面OCE,从而BD⊥OE,即OE是BD的垂直平分线,问题解决;
(2)证法一:取AB中点N,连接MN,DN,MN,易证MN∥平面BEC,DN∥平面BEC,由面面平行的判定定理即可证得平面DMN∥平面BEC,又DM⊂平面DMN,于是DM∥平面BEC;
证法二:延长AD,BC交于点F,连接EF,易证AB= AF,D为线段AF的中点,连接DM,则DM∥EF,由线面平行的判定定理即可证得结论.
(I)设中点为O,连接OC,OE,则由知,,…………2分
又已知,所以平面OCE. …………4分
所以,即OE是BD的垂直平分线,
所以.…………6分
(II)取AB中点N,连接
∵M是AE的中点,∴,…………8分
∵△是等边三角形,∴.
由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即
所以ND∥BC,…………10分
所以平面MND∥平面BEC,故DM∥平面BEC. …………12分
举一反三
如图:在多面体中,,


(1)求证:;
(2)求证:
(3)求二面角的余弦值。
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在空间中,下列命题正确的是
A.平面内的一条直线垂直与平面内的无数条直线,则
B.若直线与平面内的一条直线平行,则
C.若平面,且,则过内一点垂直的直线垂直于平面
D.若直线与平面内的无数条直线都垂直,则不能说一定有.

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(本小题满分12分)
如图(1)在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD=2,E、F、G分别是PC、PD、BC的中点,现将△PDC沿CD折起,使平面PDC⊥平面ABCD(如图2)
(1)求二面角G-EF-D的大小;
(2)在线段PB上确定一点Q,使PC⊥平面ADQ,并给出证明过程.
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类比平面几何中的定理 “设是三条直线,若,则”,得出如下结论:
①设是空间的三条直线,若,则
②设是两条直线,是平面,若,则
③设是两个平面,是直线,若
④设是三个平面,若,则
其中正确命题的个数是(    )  
A.B.C.D.

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(本小题12分)
如图,在三棱锥中,的中点,平面,垂足落在线段上,已知
(1)证明:;
(2)在线段上是否存在点,使得二面角为直二面角?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
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