如图，在三棱锥中，∠=90°，，⊥.（Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）求三棱锥的体积.

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如图，在三棱锥中，

∠

=90°，

，⊥

（Ⅰ）求证：⊥；

（Ⅱ）求三棱锥

的体积.

答案

解析

（1）取AB中点D，连结PD，CD.
∵AP=BP，
∴PD⊥AB.
∵AC=BC.
∴CD⊥AB.
∵PD∩CD＝D.
∴AB⊥平面PCD.
∵PC

平面PCD，
∴PC⊥AB. （2）在Rt△ABC中，
AC=BC=2
∴

在Rt△PDB中

∴

又∵PC⊥AC，PC⊥AB ，

∴PC⊥平面ABC
∴PC⊥CD
∴

∴

举一反三

如图,在四棱锥

中，四边形

是正方形，

平面

，

是

上的一点，

是

的中点
（Ⅰ）求证:

；
（Ⅱ）若

，求证：

平面

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如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB，PB的中点.

（I）求证：EF⊥CD；
（II）求DB与平面DEF所成角的正弦值；
（III）在平面PAD内是否存在一点G，使G在平面PCB上的射影为△PCB的外心，若存在，试确定点G的位置；若不存在，说明理由.

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（本小题满分12分）如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。

（Ⅰ）求证：DM∥平面APC；
（Ⅱ）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积。

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如图，在正方体

中，

、

分别是棱

、

的中点．
试画出平面

与平面

的交线．

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（1）设PB的中点为M，求证CM是否平行于平面PDA？
（2）在BC边上是否存在点Q，使得二面角A—PD—Q为120°？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由

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