解法1(向量法):
以为原点,以所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图, 则有. (Ⅰ)证明: . . 与平行,与平行, 于是与共面,与共面. (Ⅱ)证明:, , ,. 与是平面内的两条相交直线. 平面. 又平面过. 平面平面. (Ⅲ)解:. 设为平面的法向量, ,. 于是,取,则,. 设为平面的法向量, ,. 于是,取,则,. . 二面角的大小为. 解法2(综合法): (Ⅰ)证明:平面,平面. ,,平面平面. 于是,. 设分别为的中点,连结, 有. , 于是. 由,得, 故,与共面. 过点作平面于点, 则,连结, 于是,,. ,. ,. 所以点在上,故与共面. (Ⅱ)证明:平面,, 又(正方形的对角线互相垂直), 与是平面内的两条相交直线, 平面. 又平面过,平面平面. (Ⅲ)解:直线是直线在平面上的射影,, 根据三垂线定理,有. 过点在平面内作于,连结, 则平面, 于是, 所以,是二面角的一个平面角. 根据勾股定理,有. ,有,,,. ,, 二面角的大小为. |