如图,在棱长为1的正方体中,、、分别是棱、、的中点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求点到平面的距离;(Ⅲ)求二面角的大小.
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如图,在棱长为1的正方体中,、、分别是棱、、的中点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求点到平面的距离;(Ⅲ)求二面角的大小.
题型:不详
难度:
来源:
如图,在棱长为1的正方体
中,
、
、
分别是棱
、
、
的中点.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求点
到平面
的距离;
(Ⅲ)求二面角
的大小.
答案
(Ⅰ)证明略;
(Ⅱ)点
到平面
的距离为
;
(Ⅲ)二面角
的大小是
.
解析
(Ⅰ)证明:连结
、
、
、
,
∵
、
分别是棱
、
的中点,由全等的正方形中对应的线段长度相等可得
=
=
=
,∴四边形
是菱形,∴
.
(Ⅱ)解:
在面
上的射影是
,
,∴
.
∵
、
分别是棱
、
的中点,∴
∥
,∴
.
由(Ⅰ)有
,
与
是平面
内两相交直线,∴
平面
.
设
,则
,即点
到平面
的距离等于
.
(Ⅲ)解:取
的中点
,连结
、
,由全等的正方形中对应的线段长度相等可得
=
,∴
,由(Ⅱ)有
平面
,∴
是二面角
的平面角.
在
中,
,
,
∴
.
在
中,
,
,∴
.
∴ 二面角
的大小是
.
举一反三
如图所示,已知直四棱柱
中,
,
,且满足
(I)求证:
平面
;
(Ⅱ)求二面角
的余弦值。
题型:不详
难度:
|
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【挑战自我】
如图,已知PD⊥平面
ABC
D,
A
D⊥D
C
,
A
D∥
BC
,PD∶D
C
∶
BC
=1∶1∶
.
(1)求二面角D-P
B
-
C
的正切值;
(2)当
A
D∶
BC
的值是多少时,能使平面P
AB
⊥平面P
BC
?证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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设
X
、
Y
、
Z
是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“
X
⊥
Z
且
Y
⊥
Z
X
∥
Y
”为真命题的是_________(填序号)
①
X
、
Y
、
Z
是直线;②
X、
Y
是直线,
Z
是平面;③
Z
是直线,
X
、
Y
是平面;④
X、
Y、
Z
是平面.
题型:不详
难度:
|
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如图,正三棱柱
ABC
—
A
1
B
1
C
1
的各棱长都相等,
D
、
E
分别是
CC
1
和
AB
1
的中点,点
F
在
BC
上且满足
BF
∶
FC
=1∶3
(1)若
M
为
AB
中点,求证
BB
1
∥平面
EFM
;
(2)求证
EF
⊥
BC
;
(3)求二面角
A
1
—
B
1
D
—
C
1
的大小
题型:不详
难度:
|
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在棱长为
a
的正方体
ABCD
—
A
′
B
′
C
′
D
′中,
E
、
F
分别是
BC
、
A
′
D
′的中点
(1)求直线
A
′
C
与
DE
所成的角;
(2)求直线
AD
与平面
B
′
EDF
所成的角;
(3)求面
B
′
EDF
与面
ABCD
所成的角
题型:不详
难度:
|
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