(1)解 如图所示,在平面ABCD内,过C作CP∥DE,交直线AD于P,则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角 在△A′CP中,易得A′C=a,CP=DE=a,A′P=a 由余弦定理得cosA′CP= 故A′C与DE所成角为arccos (2)解 ∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上(如图)又可证明四边形B′EDF为菱形(证明略),∴DB′为∠EDF的平分线, 故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′, 在Rt△B′AD中,AD=a,AB′=a,B′D=a, 则cosADB′=,故AD与平面B′EDF所成的角是arccos (3)解 如图,连结EF、B′D,交于O点,显然O为B′D的中点,从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心,作OH⊥平面ABCD,则H为正方形ABCD的中心,再作HM⊥DE,垂足为M,连结OM,则OM⊥DE,故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角 在Rt△DOE中,OE=a,OD=a,斜边DE=a, 则由面积关系得OM=a 在Rt△OHM中,sinOMH= 故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin 方法二(向量法) (1) 如图建立坐标系,则
故A′C与DE所成角为arccos (2)∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上 如下图所示又∵B′EDF为菱形,∴DB′为∠EDF的平分线, 故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′,如图建立坐标系,则
, 故AD与平面B′EDF所成的角是arccos (3)由(1)知, 所以面ABCD的法向量为 下面求面B′EDF的法向量 设,由 取z=1,得 ∴. 故面B′EDF与面ABCD所成的角为 |