解法一:(Ⅰ)由已知BC⊥AC,BC⊥CC1,
所以BC⊥平面ACC1A1.连结AC1,则BC⊥AC1. 由已知,侧面ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1. 又,所以AC1⊥平面A1BC. 因为侧面ABB1A1是正方形,M是A1B的中点,连结AB1,则点M是AB1的中点. 又点N是B1C1的中点,则MN是△AB1C1的中位线,所以MN∥AC1. 故MN⊥平面A1BC. (Ⅱ)因为AC1⊥平面A1BC,设AC1与A1C相交于点D,连结BD,则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角. 设AC=BC=CC1=a,则,. 在Rt△BDC1中,sin∠C1BD=, 所以∠C1BD=30º,故直线BC1和平面A1BC所成的角为30º. 解法二:(Ⅰ)据题意CA、CB、CC1两两垂直,以C为原点, CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间 直角坐标系,如图设AC=BC=CC1=a,则 , , 所以,,. 于是,,即MN⊥BA1,MN⊥CA1. 又,故MN⊥平面A1BC. (Ⅱ)因为MN⊥平面A1BC,则为平面A1BC的法向量,又, 则,所以. 故直线BC1和平面A1BC所成的角为30º. |