(本小题满分14分)如图,三棱锥中,,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若为线段上的点,设,问为何值时能使直线平面;(Ⅲ)求二面角的大小.

(本小题满分14分)如图,三棱锥中,,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若为线段上的点,设,问为何值时能使直线平面;(Ⅲ)求二面角的大小.

题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)
如图,三棱锥中,
(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)若为线段上的点,设,问为何值时能使
直线平面
(Ⅲ)求二面角的大小.
答案

解析
方法一:
(Ⅰ) 

 
平面.                            ……………………3分
(Ⅱ)当M为PC中点时,即时,直线平面,     …………4分
证明如下:
由(Ⅰ)知平面平面,∴ ,  ……5分
在等腰中, M为中点,∴ ,         …………6分

平面.                                  ……………8分
(Ⅲ)
由(Ⅱ)知当M为PC中点时,平面 平面
∴ 平面平面.                        ……………………9分
,∴ 平面                                                         
,连结,由三垂线定理可知,
为二面角的平面角.           ……………………11分
,则
中,
由(Ⅰ)知平面平面,∴
中,
由面积公式得,,            ……………12分
同理,在中,由面积公式得, ……………13分
中,
所以二面角的大小为.       ……………………14分
方法二:
(Ⅰ)同方法一.                                           …………………3分
(Ⅱ)如图,以A为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.                      

,则,    …………………4分
当M为PC中点时,即时,直线平面.   …………………5分
证明如下:
当M为PC中点时,
,
,                    
,即.                          ………………6分
,            
,即.                           ………………7分
,∴ 平面.                ……………8分
(Ⅲ)可证平面.                                   
则平面法向量为,                          ……………9分
下面求平面PBC的法向量.
设平面PBC的法向量为
,

,则,                         ……………………12分

所以二面角的大小为.          ……………………14分
举一反三
如图,三棱锥中,底面,点分别是的中点.

(1)求证:⊥平面;(2)求二面角的余弦值。
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已知平面α⊥平面β,交线为ABCDEBC的中点,ACBDBD=8.

①求证:BD⊥平面
②求证:平面AED⊥平面BCD
③求二面角BACD的正切值.
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已知直线,且直线都相交,求证:直线共面。
题型:不详难度:| 查看答案
从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为_______。
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5.在正三棱锥(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中,,过作与分别交于的截面,则截面的周长的最小值是________
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