(本小题满分12分)如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的倍,P为侧棱SD上的点。  (Ⅰ)求证:AC⊥SD;(Ⅱ)若SD⊥平面PA

(本小题满分12分)如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的倍,P为侧棱SD上的点。  (Ⅰ)求证:AC⊥SD;(Ⅱ)若SD⊥平面PA

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)
如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的倍,P为侧棱SD上的点。  
(Ⅰ)求证:ACSD
(Ⅱ)若SD平面PAC,求二面角P-AC-D的大小
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC。若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由。
答案
(Ⅰ)略(Ⅱ)(Ⅲ)不在平面内,故
解析
解法一:
(Ⅰ)连BD,设AC交BD于O,由题意。在正方形ABCD中,,所以,得.
(Ⅱ)设正方形边长,则
,所以,
,由(Ⅰ)知,所以,
,所以是二面角的平面角。
,知,所以,
即二面角的大小为
(Ⅲ)在棱SC上存在一点E,使
由(Ⅱ)可得,故可在上取一点,使,过的平行线与的交点即为。连BN。在中知,又由于,故平面,得,由于,故.
解法二:
(Ⅰ);连,设交于,由题意知.以O为坐标原点,分别为轴、轴、轴正方向,建立坐标系如图。
设底面边长为,则高
于是
      
故       从而  
(Ⅱ)由题设知,平面的一个法向量,平面的一个法向量,设所求二面角为,则,所求二面角的大小为
(Ⅲ)在棱上存在一点使.
由(Ⅱ)知是平面的一个法向量,
且  



即当时,
不在平面内,故
举一反三
(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,

底面ABCD为直角梯形,且AB//CDABADAD=CD=2AB=2.
侧面为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD.网
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如果把地球看成一个球体,则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为( )
A.0.8B.0.75C.0.5D.0.25

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;②
;④.其中正确的是(      )
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