已知正三棱锥的高为1，底面边长为26，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：（1）棱锥的全面积；（2）球的半径R．

题型：不详难度：来源：

已知正三棱锥的高为1，底面边长为2

6

，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：
（1）棱锥的全面积；
（2）球的半径R．

答案

（1）设正三棱锥的底面中心为H，
由题意知PH=1，取BC中点E，
连接HE、PE，
则HE=

2

，侧面的高PE=

3

，
S_全=3×

1

2

×2

6

×

3

+

1

2

×2

6

×2

6

×

3

2

=9

2

+6

3

．
（2）过O作OG⊥PE于点G，
则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，
∴

1-R

3

=

R

2

，
∴R=

6

-2．