已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,D是底面三角形内一点,且∠DPA=45°,∠DPB=60°,则∠DPC=______.

已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,D是底面三角形内一点,且∠DPA=45°,∠DPB=60°,则∠DPC=______.

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已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,D是底面三角形内一点,且∠DPA=45°,∠DPB=60°,则∠DPC=______.
答案
过点D作平面垂直于PA,交PA于A点,交平面PAC于AE,交平面PAB于AM
过点D作平面垂直于PB,交PB于B点,交平面PBC于BF,交平面PAB于BM
过点D作平面垂直于PC,交PC于C点,交平面PAC于EC,交平面PBC于FC
则六面体APBM-ECFD是一个长方体
设PA=1,∵∠DPA=45°,∴PD=


2

∵∠DPB=60°∴PB=


2
2
,∴PM=


12+(


2
2
)
2
=


6
2

在直角三角形PCD中,CD=PM=


6
2
,PD=


2

∴sin∠DPC=


3
2

∴∠DPC=60°
故答案为60°
举一反三
三棱锥P-ABC中,若PA=PB=PC,则顶点P在底面三角形的射影是底面三角形的(  )
A.内心B.外心C.重心D.垂心
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将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内,并使得每个球都和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于______.
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已知一个正六棱柱的底面边长是2


3
,最长的对角线长为8,那么这个正六棱柱的高是(  )
A.2


3
B.3C.4


3
D.4
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圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,则圆柱的表面积为______.
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如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=60°,长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动,则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为______.魔方格
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