如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,M是PD的中点.(1)求证:平面ABM⊥平面PCD;(2)求直线
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如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,M是PD的中点.(1)求证:平面ABM⊥平面PCD;(2)求直线
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如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,M是PD的中点.
(1)求证:平面ABM⊥平面PCD;
(2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值;
(3)以AC的中点O为球心、AC为直径的球交PC于点N求点N到平面ACM的距离.
答案
(1)先证明AM⊥平面PCD;(2)
;(3)
。
解析
试题分析:(1)由底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,解得BP=2
=BD
又M在PD上,且BM⊥PD,∴M为BD中点,∴AM⊥PD;
又BA⊥PA,且BA⊥AD,PA∩AD=A,∴BA⊥平面PAD,
∴BA⊥AM,
∵CD⊥AM,PD∩CD=D,∴AM⊥面PCD,
∵AM⊂平面ABM,
∴平面ABM⊥平面PCD。
(2)建右手系,用向量计算,
平面ACM的一个法向量是n=(2,-1,1)
所求角的正弦值为
(3)由条件可得AN⊥NC,
所求距离为
点评:中档题,立体几何中的垂直、平行关系,是高考常常考查的内容。关于距离的计算通常有两种思路,一是几何法,注意“一作、二证、三计算”;二一种思路,是利用空间向量,简化证明过程。
举一反三
下列四个几何体中,每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是
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已知某个几何体的三视图如右图,根据图中标出的尺寸(单位: cm),可得这个几何体的体积是( )
A.
cm
3
B.
cm
3
C.
cm
3
D.2 cm
3
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下列说法正确的是( )
A.空间三个点确定一个平面
B.两个平面一定将空间分成四部分
C.梯形一定是平面图形
D.两个平面有不在同一条直线上的三个交点
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下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )
①正方体 ②圆锥 ③正三棱台 ④正四棱锥
A.①②
B.①③
C.①③
D.②④
题型:不详
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(理)球
O
与锐二面角α-l-β的两半平面相切,两切点间的距离为,
O
点到交线
l
的距离为2,则球
O
的表面积为( )
A.
B.4π
C.12π
D.36π
题型:不详
难度:
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