如图，是圆柱的母线，是圆柱底面圆的直径，是底面圆周上异于的任意一点，.（Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积的最大值.

题型：不详难度：来源：

如图，是圆柱的母线，是圆柱底面圆的直径，是底面圆周上异于的任意一点，.（Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积的最大值.

答案

(I)证明:  ∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，∴BC⊥AC, ∵AA₁⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，∴AA₁⊥BC，
∵AA₁∩AC=A，AA₁Ì平面AA₁ C，ACÌ平面AA₁ C， 
∴BC⊥平面AA₁C.            --------------------6分
(Ⅱ)解：设AC=x，在Rt△ABC中， (0<x<2) , 
故(0<x<2),　
即.
∵0<x<2，0<x²<4，∴当x²=2，
即时，三棱锥A₁-ABC的体积的最大值为.

解析

略