请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示).试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时,帐篷的体积最
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请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示).试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时,帐篷的体积最
题型:不详
难度:
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请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示).试问当帐篷的顶点O到底面中心O
1
的距离为多少时,帐篷的体积最大?
答案
设OO
1
为xm,
则由题设可得正六棱锥底面边长为(单位:m)
3
2
-
(x-1)
2
=
8+2x-
x
2
于是底面正六边形的面积为(单位:m
2
)
3
2
-
(x-1)
2
=6•
3
4
•
(
8+2x-
x
2
)
2
=
3
3
2
(8+2x-
x
2
)
帐篷的体积为(单位:m
3
)
V(x)=
3
3
2
(8+2x-
x
2
)[
1
3
(x-1)+1]=
3
2
(16+12x-
x
3
)
求导数,得
V′(x)=
3
2
(12-3
x
2
)
令V"(x)=0解得x=-2(不合题意,舍去),x=2.
当1<x<2时,V"(x)>0,V(x)为增函数;
当2<x<4时,V"(x)<0,V(x)为减函数.
所以当x=2时,V(x)最大.
答当OO
1
为2m时,帐篷的体积最大.
举一反三
如图,已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为3,点E,F在线段AB上,点M在线段B
1
C
1
上,点N在线段C
1
D
1
上,且EF=1,D
1
N=x,AE=y,M是B
1
C
1
的中点,则四面体MNEF的体积( )
A.与x有关,与y无关
B.与x无关,与y无关
C.与x无关,与y有关
D.与x有关,与y有关
题型:不详
难度:
|
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(1)画出俯视图;
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