如图，底面是边长为2的菱形，且，以与为底面分别作相同的正三棱锥与，且.(1)求证：平面；(2)求多面体的体积.

题型：不详难度：来源：

如图，底面是边长为2的菱形，且，以与为底面分别作相同的正三棱锥与，且.

(1)求证：平面；
(2)求多面体的体积.

答案

（1）证明过程见解析；（2）.

解析

试题分析：（1）作面于，作面于，易判断四边形是平行四边形，从而有，又面 面，所以平面；
（2）取的中点，连接,，则多面体分割成,,,分别求出此三个三棱锥的体积，即可求出多面体的体积.
（1）作面于，作面于，
  
因与都是正三棱锥，
且、分别为与的中心，
且.
所以四边形是平行四边形，所以.         
又面 面，所以平面.
（2）又，则平面， 故.     
取中点为，联接，即平面，
易算出 
    
故多面体的体积