如图所示,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E、F分别在BC、AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使平面A

如图所示,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E、F分别在BC、AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使平面A

题型:不详难度:来源:
如图所示,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E、F分别在BC、AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC,设AD中点为P.

(1)当E为BC中点时,求证:CP∥平面ABEF;
(2)设BE=x,问当x为何值时,三棱锥ACDF的体积有最大值?并求出这个最大值.
答案
(1)见解析  (2)当x=3时, 有最大值,最大值为3
解析

(1)证明:取AF的中点Q,
连接QE、QP,
则QPDF,
又DF=4,EC=2,且DF∥EC,
所以QPEC,
即四边形PQEC为平行四边形,
所以CP∥EQ,
又EQ⊂平面ABEF,CP⊄平面ABEF,
故CP∥平面ABEF.
(2)解:因为平面ABEF⊥平面EFDC,
平面ABEF∩平面EFDC=EF,
又AF⊥EF,所以AF⊥平面EFDC.
由已知BE=x,所以AF=x(0<x≤4),FD=6-x.
=··2·(6-x)·x
=(6x-x2)
=[-(x-3)2+9]
=-(x-3)2+3,
∴当x=3时,有最大值,最大值为3.
举一反三
如图,一简单组合体的一个面ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,且DC平面ABC.

(1)证明:平面ACD平面
(2)若,试求该简单组合体的体积V.
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如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2。

(1)求证:CE∥平面PAB;
(2)求四面体PACE的体积.
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如图,△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC平面ABC,,

(1)证明:平面ACD平面ADE;
(2)记表示三棱锥A-CBE的体积,求函数的解析式及最大值
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侧棱长都为的三棱锥的侧面都是直角三角形,且四个顶点都在一个球面上,则球的表面积为(    )
A.B.C.D.

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已知一个四面体有五条棱长都等于2,则该四面体的体积最大值为(   )
A.B.1C.D.2

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