如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.(1)证明:平面.;(2)若,求三棱锥的体积.

如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.(1)证明:平面.;(2)若,求三棱锥的体积.

题型:不详难度:来源:
如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面

(1)证明:平面.;
(2)若,求三棱锥的体积.
答案
(1)见解析(2)
解析

试题分析:(1)要证平面,需证与平面内的两条相交直线都垂直,
平面,可证,由平面,可证.根据线面垂直的判定定理,
可证平面.(2)设矩形的对角线的交点为,连结,由(1)的结论可知平面,从而有,所以矩形为正方形,边长为2;由平面,知,因此相似,可确定的各边长,然后由求三棱锥的体积.
试题解析:(1)∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥BD.
∵PC⊥平面BDE,
∴PC⊥BD.
又PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC.                  6分

(2)如图,设AC与BD的交点为O,连结OE.
∵PC⊥平面BDE,∴PC⊥OE.
由(1)知,BD⊥平面PAC,∴BD⊥AC,
由题设条件知,四边形ABCD为正方形.
由AD=2,得AC=BD=2,OC=
在Rt△PAC中,PC==3.
易知Rt△PAC∽Rt△OEC,
,即,∴OE=,CE=
∴VE-BCDSCEO·BD=·OE·CE·BD=···2.   13分
举一反三
一个正方体的八个顶点都在同一个球面上,则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_______.
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已知一个正方体的八个顶点都在同一个球面上,若此正方体的棱长为,那么这个球的表面积为_______.
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已知球的直径SC=4,AB是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥S-ABC的体积为________.
题型:不详难度:| 查看答案
已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面直径与母线长均为2,则球O的表面积为________.
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已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上,且AB=8,BC=2,则棱锥O-ABCD的体积为________.
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