如图,四边形ABCD为矩形,四边形ADEF为梯形,AD//FE,∠AFE=60º,且平面ABCD⊥平面ADEF,AF=FE=AB==2,点G为AC的中点.(Ⅰ)
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如图,四边形ABCD为矩形,四边形ADEF为梯形,AD//FE,∠AFE=60º,且平面ABCD⊥平面ADEF,AF=FE=AB==2,点G为AC的中点.(Ⅰ)
题型:不详
难度:
来源:
如图,四边形ABCD为矩形,四边形ADEF为梯形,AD//FE,∠AFE=60º,且平面ABCD⊥平面ADEF,AF=FE=AB=
=2,点G为AC的中点.
(Ⅰ)求证:EG//平面ABF;
(Ⅱ)求三棱锥B-AEG的体积;
(Ⅲ)试判断平面BAE与平面DCE是否垂直?若垂直,请证明;若不垂直,请说明理由.
答案
(I)详见解析;(Ⅱ)
;(Ⅲ)平面BAE⊥平面DCE.证明见解析.
解析
试题分析:(I)取AB中点M,连FM,GM.由题设易得四边形GMFE为平行四边形,从而得EG∥平面ABF;(Ⅱ)显然转化为求三棱锥E-ABG的体积.注意到平面ABCD⊥平面AFED,故作EN⊥AD,垂足为N,则有EN⊥平面ABCD,即EN为三棱锥E-ABG的高.由此即可得其体积;(Ⅲ)为了判断平面BAE、平面DCE是否垂直,首先看看在这两个面中有哪些线是相互垂直的.由平面ABCD⊥平面AFED,四边形ABCD为矩形可得,CD⊥平面AFED,从而 CD⊥AE.另外根据题中所给数据,利用勾股定理可判断ED⊥AE.由此可知,平面BAE⊥平面DCE.
试题解析:(I)证明:取AB中点M,连FM,GM.
∵G为对角线AC的中点,
∴GM∥AD,且GM=
AD,
又∵FE∥
AD,
∴GM∥FE且GM=FE.
∴四边形GMFE为平行四边形,即EG∥FM.
又∵
平面ABF,
平面ABF,
∴EG∥平面ABF. 4分
(Ⅱ)解:作EN⊥AD,垂足为N,
由平面ABCD⊥平面AFED ,面ABCD∩面AFED=AD,
得EN⊥平面ABCD,即EN为三棱锥E-ABG的高.
∵在△AEF中,AF=FE,∠AFE=60º,
∴△AEF是正三角形.
∴∠AEF=60º,
由EF//AD知∠EAD=60º,
∴EN=AE∙sin60º=
.
∴三棱锥B-AEG的体积为
. 8分
(Ⅲ)解:平面BAE⊥平面DCE.证明如下:
∵四边形ABCD为矩形,且平面ABCD⊥平面AFED,
∴CD⊥平面AFED,
∴CD⊥AE.
∵四边形AFED为梯形,FE∥AD,且
,
∴
.
又在△AED中,EA=2,AD=4,
,
由余弦定理,得ED=
.
∴EA
2
+ED
2
=AD
2
,
∴ED⊥AE.
又∵ED∩CD=D,
∴AE⊥平面DCE,
又
面BAE,
∴平面BAE⊥平面DCE. 12分
举一反三
已知正三棱锥P
ABC中,E,F分别是AC,PC的中点,若EF
BF,AB=2,则三棱锥P
ABC的外接球的表面积为_________.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥
中,底面
是正方形,
底面
,
,点
是
的中点,
,交
于点
.
(1)求证:平面
平面
;
(2)求三棱锥
的体积.
题型:不详
难度:
|
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如图,四棱锥
中,底面
是菱形,
,
,
,
,
,
是
的中点,
上的点
满足
.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求三棱锥
的体积.
题型:不详
难度:
|
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如图C,D是以AB为直径的圆上的两点,
,F是AB上的一点,且
,将圆沿AB折起,使点C在平面ABD的射影E在BD上,已知
(1)求证:AD
平面BCE
(2)求证:AD//平面CEF;
(3)求三棱锥A-CFD的体积.
题型:不详
难度:
|
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一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的底面直径与高的比是
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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