某个实心零部件的形状是如下图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱.(
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某个实心零部件的形状是如下图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱.(
题型:不详
难度:
来源:
某个实心零部件的形状是如下图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台
,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱
.
(1)证明:直线
平面
;
(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知
,
,
,
(单位:
),每平方厘米的加工处理费为
元,需加工处理费多少元?
答案
(1)详见解析;(2)所需加工处理费为
元.
解析
试题分析:(1)先证
,再证
平面
,从而得到
平面
,在证明
平面
的过程中,利用四边形
为正方形得到
,再由直棱柱的性质得到
平面
,从而得到
,再利用直线与平面垂直的判定定理得到
平面
;(2)先计算该几何体的表面积,然后利用单价乘以表面积便可以得到加工处理费.
试题解析:(1)因为四棱柱ABCD-A
2
B
2
C
2
D
2
的侧面是全等的矩形,
所以AA
2
⊥AB,AA
2
⊥AD,又因为AB∩AD=A,所以AA
2
⊥平面ABCD.
连接BD,因为BD⊂平面ABCD,所以AA
2
⊥BD.
因为底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
根据棱台的定义可知,BD与B
1
D
1
共面.
又已知平面ABCD∥平面A
1
B
1
C
1
D
1
,且平面BB
1
D
1
D∩平面ABCD=BD,
平面BB
1
D
1
D∩平面A
1
B
1
C
1
D
1
=B
1
D
1
,所以B
1
D
1
∥BD.于是
由AA
2
⊥BD,AC⊥BD,B
1
D
1
∥BD,可得AA
2
⊥B
1
D
1
,AC⊥B
1
D
1
,
又因为AA
2
∩AC=A,所以B
1
D
1
⊥平面ACC
2
A
2
.
(2)因为四棱柱ABCD-A
2
B
2
C
2
D
2
的底面是正方形,侧面是全等的矩形,
所以S
1
=S
四棱柱上底面
+S
四棱柱侧面
=(A
2
B
2
)
2
+4AB·AA
2
=10
2
+4×10×30=1 300(cm
2
).
又因为四棱台A
1
B
1
C
1
D
1
-ABCD的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形.
所以S
2
=S
四棱台下底面
+S
四棱台侧面
=(A
1
B
1
)
2
+4×
(AB+A
1
B
1
)h
等腰梯形的高
=20
2
+4×
(10+20)
=1120(cm
2
).
于是该实心零部件的表面积为S=S
1
+S
2
=1300+1120=2420(cm
2
),
故所需加工处理费为0.2S=0.2×2420=484(元).
举一反三
如图,在正三棱锥A-BCD中,E、F分别是AB、BC的中点,EF⊥DE,且BC=1,则正三棱锥A-BCD的体积是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知D、E是边长为3的正三角形的BC边上的两点,且
,现将
、
分别绕AD和AE折起,使AB和AC重合(其中B、C重合).则三棱锥
的内切球的表面积是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的
,则其体积缩小到原来的
;
②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
③直线
与圆
相切.
其中真命题的序号为
.
题型:不详
难度:
|
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点P在正方体
的面对角线
上运动,则下列四个命题:
①三棱锥
的体积不变;
②
∥平面
;
③
;
④平面
平面
.
其中正确的命题序号是
.
题型:不详
难度:
|
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在边长为
的正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,M、N分别为AB、CF的中点,现沿AE、AF、EF折叠,使B、C、D三点重合于B,构成一个三棱锥(如图所示).
(Ⅰ)在三棱锥上标注出
、
点,并判别MN与平面AEF的位置关系,并给出证明;
(Ⅱ)
是线段
上一点,且
,问是否存在点
使得
,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)求多面体E-AFNM的体积.
题型:不详
难度:
|
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