在四棱锥中,,,平面,为 的中点,.(1)求四棱锥的体积;(2)若为的中点,求证:平面平面;(3)求二面角的大小.
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在四棱锥中,,,平面,为 的中点,.(1)求四棱锥的体积;(2)若为的中点,求证:平面平面;(3)求二面角的大小.
题型:不详
难度:
来源:
在四棱锥
中,
,
,
平面
,
为
的中点,
.
(1)求四棱锥
的体积
;
(2)若
为
的中点,求证:平面
平面
;
(3)求二面角
的大小.
答案
1)解:在
中,
,
,∴
,
……1分
在
中,
,
,∴
,
…………2分
∴
…………3分
则
…………………………………………4分
(2)解法一∵
平面
,∴
…………………………5分
又
,
, …………………………6分
∴
平面
………………………7分
∵
、
分别为
、
中点,
∴
∴
平面
………………………8分
∵
平面
,∴平面
平面
……9分
(3)解法一:取
的中点
,连结
,则
,
∴
平面
,过
作
于
,连接
,…10分
∵
AC,
,且
,∴
…11分
则
为二面角
的平面角。 ……12分
∵
为
的中点,
,
,
∴
,又
, ……13分
∴
,故
即二面角
的大小为30
0
……………14分
(2)解法二:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ………………5分
A(0,0,0) B(1,0,0)
……6分
,
,
…7分
设平面AEF的一个法向量为
由
取
,得x=1,即
…8分
又平面PAC的一个法向量为
……9分
∴平面
平面
……10分
(3)解法二:易知平面ACD的一个法向量为
……11分
设平面AEF的一个法向量为
由
,取
,得
,
…12分
……13分
∴结合图形知二面角
的大小为30
0
……………14分
解析
本题考查用分割法求出棱锥的底面积,直线与平面垂直的判定以及求二面角的大小的方法.
(Ⅰ)把四边形面积分成2个直角三角形面积之和,代入棱锥体积公式进行计算.
(Ⅱ)先证 CD⊥平面PAC,由三角形中位线的性质得EF∥CD,得到EF⊥平面PAC,从而证得平面PAC⊥平面AEF.
(Ⅲ)由三垂线定理作出∠EQM为二面角E-AC-D的平面角,并证明之,解直角三角形EQM,求出∠EQM的大小.
举一反三
在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60
O
,将菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=1,则三棱锥B-ACD的体积为为 ( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________.
题型:不详
难度:
|
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在长方体
中,
,过
、
、
三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体
,且这个几何体的体积为
.
(1)求棱
的长;
(2)若
的中点为
,求异面直线
与
所成角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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若圆锥的表面积是
,侧面展开图的圆心角是
,则圆锥的体积是_______.
题型:不详
难度:
|
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平行四边形ABCD中,AB=2,AD=
,且
,以BD为折线,把
折起,使平面
,连AC。
(1)求异面直线AD与BC所成角大小;
(2)求二面角B-AC-D平面角的大小;
(3)求四面体ABCD外接球的体积。
题型:不详
难度:
|
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