解 如图8-12,设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r,圆心为O′,球心到该圆面的距离为d。在三棱锥P—ABC中, ∵PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA= a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。 由正弦定理,得 =2r,∴r= a。 又根据球的截面的性质,有OO′⊥平面ABC,而PO′⊥平面ABC, ∴P、O、O′共线,球的半径R= 。又PO′= = = a, ∴OO′="R" - a=d= ,(R- a)2=R2 – ( a)2,解得R= a, ∴S球=4πR2=3πa2。 |