如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°2AC=AA1=BC=2。（Ⅰ）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；（Ⅱ）若二面角B1－

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如图在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°2AC=AA₁=BC=2。
（Ⅰ）若D为AA₁中点，求证：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅱ）若二面角B₁－DC－C₁的大小为60°，求AD 的长。

答案

（2）

解析

（1）证明：如图，以C为原点，CA、CB、CC₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，0，0），B₁（0，2，2），

C₁（0，0，2），D（1，0，1）。
即，由，得；由，得；
又。又平面，∴平面B₁CD⊥平面B₁C₁D。
（2）设，则D点坐标为，设平面B₁CD的法向量为。则由，令，得，又平面C₁DC的法向量为，则，，故。………………12分