有一直圆锥,另外有一与它同底同高的直圆柱,假设a是圆锥的全面积,a′是圆柱的全面积,试求圆锥的高与母线的比值.
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有一直圆锥,另外有一与它同底同高的直圆柱,假设a是圆锥的全面积,a′是圆柱的全面积,试求圆锥的高与母线的比值. |
答案
设圆锥的高为h,底面半径为R,母线长为L, 则==, ∴2a(R+h)=a"(R+L). 由R=,代入可得 2a(+h)=a′(+L), (2a-a")=a"L-2ah. 两边同除以L,可得 (2a-a")=a′-2a. 等式两边平方, (4a2-4a′a+a′2)[1-()2]=a′2-4aa′•+4a2()2, (8a2-4aa′+a′2)()2-4aa′+(4aa′+a′2)=0. 这个关于的一元二次方程的判别式 △=(-4aa")2-4(8a2-4aa"+a"2)(4aa"+a"2)=16a(2a-a")3>0, ∴该一元二次方程有二个实根,此二实根即圆锥的高与母线的比: ==4aa′±4(2a-a′) | 2[4a2+(2a-a′)2] |
=2aa′±2(2a-a′) | 4a2+(2a-a′)2 | . |
举一反三
圆台上底面积为25cm2,下底直径为20cm,母线为10cm,求圆台的侧面积. |
一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等,那么圆锥与球的体积之比是( ) |
圆锥母线长为1,侧面展开图圆心角为240°,该圆锥的体积( ) |
在xoy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)及(0,3)求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积. |
在侧棱长为a的正四棱锥中,棱锥的体积最大时底面边长为( ) |
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