如图,边长为2的正方形ABCD中,(1)点E是AB的中点,点F是BC的中点,将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A".求证:A"D⊥E

如图,边长为2的正方形ABCD中,(1)点E是AB的中点,点F是BC的中点,将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A".求证:A"D⊥E

题型:不详难度:来源:
如图,边长为2的正方形ABCD中,
(1)点E是AB的中点,点F是BC的中点,将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A".求证:A"D⊥EF
(2)当BE=BF=
1
4
BC时,求三棱锥A"-EFD的体积.

魔方格
答案
(1)由正方形ABCD知,∠DCF=∠DAE=90°,
∴A"D⊥A"F,A"D⊥A"E,
∵A"E∩A"F=A",A"E、A"F⊆平面A"EF.
∴A"D⊥平面A"EF.
又∵EF⊂平面A"EF,
∴A"D⊥EF.
(2)由四边形ABCD为边长为2的正方形
故折叠后A′D=2,A′E=A′F=
3
2
,EF=


2
2

则cos∠EA′F=
(
3
2
)2+(
3
2
)2-12
3
2
×
3
2
=
8
9

则sin∠EA′F=


17
9

故△EA′F的面积S△EA′F=
1
2
•A′E•A′F•sin∠EA′F=


17
8

由(1)中A′D⊥平面A′EF
可得三棱锥A"-EFD的体积V=
1
3
×


17
8
×2=


17
12
举一反三
如图在四棱锥P-ABCD中侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形.其中BCAD,∠BAD=90°,AD=3BC,O是AD上一点
①若CD平面PBO 试指出O的位置并说明理由
②求证平面PAB⊥平面PCD
③若PD=BC=1,AB=2


2
,求P-ABCD的体积.魔方格
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如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=


2
.E、F分别为PA、PD的中点.
(1)求证:EF面PBC;
(2)求证:PA⊥平面ABCD;
(3)求四棱锥P-ABCD的体积.魔方格
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如图,圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且AB是圆O直径,AA1=AC=CB=2.
(Ⅰ)证明:平面A1ACC1⊥平面B1BCC1
(Ⅱ)设E,F分别为AC,BC上的动点,且CE=BF=x,问当x为何值时,三棱锥C-EC1F的体积最大,最大值为多少?魔方格
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正六棱锥底面周长为6,高为


13
4
,则此锥体的侧面积等于(  )
A.


3
2
B.
15


3
4
C.
15
4
D.
3


3
2
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已知棱台的体积是76cm3,高是6cm,一个底面面积是18cm2,则这个棱台的另一个底面面积为(  )
A.8cm2B.6cm2C.7cm2D.5cm2
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