如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=22，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：平面PCE⊥平面PCD；（Ⅱ）求四面体PEFC的体

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如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2

2

，E、F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求四面体PEFC的体积．

答案

（Ⅰ）∵PA=AD=2，∴AF=PD，
∵PA垂直于矩形ABCD所在的平面，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD，
∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，
∴GE⊥平面PCD，
∵GE?平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知GE⊥平面PCD，
∴EG为四面体PEFC的高，
又∵GF∥CD，∴GF⊥PD，
∵EG=AF=

2

，GF=

1

2

CD=

2

，S△PCF=

1

2

PD?GF=2，
∴四面体PEFC的体积V=

1

3

S△PCF?EG=

2 2

3

．