在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=3，侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（　　）A．2πB．π3C．4πD．4π3

题型：不详难度：来源：

在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=

3

，侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（　　）

A．2π

B． π 3

C．4π

D． 4π 3

答案

过点P作PH⊥平面ABC于H，则
∵AH是PA在平面ABC内的射影
∴∠PAH是直线PA与底面ABC所成的角，得∠PAH=60°，
∴Rt△PAH中，AH=PAcos60°=

3

2

，PH=PAsin60°=

3

2

设三棱锥外接球的球心为O，
∵PA=PB=PC，∴P在平面ABC内的射影H是△ABC的外心
由此可得，外接球心O必定在PH上，连接OA、OB、OC
∵△POA中，OP=OA，
∴∠OAP=∠OPA=30°，可得PA=

3

OA=

3

∴三棱锥外接球的半径R=OA=1
因此该三棱锥外接球的体积为V=

4

3

πR³=

4π

3

故选：D