求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内.
题型:不详难度:来源:
求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内. |
答案
证明:第一种情形(如图1):四条直线l1,l2,l3,l4没有三条直线过同一点,
这时它们共有六个交点A、B、C、D、E、F,它们各不相同, 因直线l1,l2相交于点A,可决定一平面α; 因点B、C、D、E均在平面α内, 所以直线l3,l4也在平面α内, 故直线l1,l2,l3,l4同在平面α内.
第二种情形(如图2):四条直线l1,l2,l3,l4中有三条, 例如l1,l2,l3,过同一点A, 因直线l4不过点A, 故由点A及直线l4可决定一平面α, 因直线l4与直线l1,l2,l3,相交, 设交点为B、C、D, 则点B、C、D在直线l4上,从而在平面α内, 因此,直线l1,l2,l3,各有两点在平面α内, 即这三条直线在平面α内, 故四直线l1,l2,l3,l4在同一平内. |
举一反三
设有不同的直线a,b和不同的平面α,β.给出下列命题: ①若a∥α,b∥β,且a∥β,则a∥b ②若a⊥α,b⊥β,且α⊥β,则a⊥b ③若a∥α,b∥β,且a∥b,则a∥β ④若a⊥α,b⊥β,且a⊥b,则α⊥β其中正确的题号是______. |
在空间四边形ABCD中,M,N,P,Q分别是四边上的点,满足====k.求证:M,N,P,Q共面. |
①如果平面α内的一条直线m与平面α的一条斜线l在平面α内的射影n垂直,那么m⊥l; ②如果平面α内的一条直线b与平面β垂直,那么α⊥β; ③经过平面α外一点有且只有一条直线与平面α平行; ④对角线相交于一点且被这点平分的四棱柱是平行六面体. 其中逆否命题为真命题的命题个数有( ) |
下列命题中,m,n表示两条不同的直线,α、β、γ表示三个不同的平面. ①若m⊥α,n∥α,则m⊥n; ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β; ③若m∥α,n∥α,则m∥n; ④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ. 正确的命题是( ) |
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