在正方体ABCD-A′B′C′D′中,过对角线BD′的一个平面交AA′于E,交CC′于F,则①四边形BFD′E一定是平行四边形;②四边形BFD′E有可能是正方形
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在正方体ABCD-A′B′C′D′中,过对角线BD′的一个平面交AA′于E,交CC′于F,则 ①四边形BFD′E一定是平行四边形; ②四边形BFD′E有可能是正方形; ③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形; ④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D. 以上结论正确的为______.(写出所有正确结论的编号) |
答案
①:∵平面AB′∥平面DC′,平面BFD′E∩平面AB′=EB,平面BFD′E∩平面DC′=D′F,∴EB∥D′F,同理可证:D′E∥FB,故四边形BFD′E一定是平行四边形,即①正确; ②:当E、F为棱中点时,四边形为菱形,但不可能为正方形,故②错误; ③:四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD,所以一定是正方形,即③正确; ④:当E、F为棱中点时,EF⊥平面BB′D,又∵EF⊂平面BFD′E,∴此时:平面BFD′E⊥平面BB′D,即④正确. 故答案为:①③④ |
举一反三
设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列命题: ①若m⊥α,n∥α,则m⊥n; ②若α⊥γ,β⊥γ则α∥β; ③若m∥α,n∥α,则m∥n; ④若α∥β,β∥γ,m⊥α则m⊥γ. 其中正确命题的个数是( ) |
已知空间四边形ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求证:AD⊥BC. |
如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥ | . | 已知下列四个命题: ①若一条直线垂直于一个平面内无数条直线,则这条直线与这个平面垂直; ②若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面; ③若一条直线平行一个平面,另一条直线垂直这个平面,则这两条直线垂直; ④若两条直线垂直,则过其中一条直线有唯一一个平面与另外一条直线垂直; 其中真命题的序号是( ) | 已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定( )A.与a,b都相交 | B.只能与a,b中的一条相交 | C.至少与a,b中的一条相交 | D.与a,b都平行 |
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