如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为棱形,∠DAB=60°,平面PCD⊥底面ABCD,E、F分别是CD、AB的中点.(1)求证:BE⊥平面PCD.(2)设
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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为棱形,∠DAB=60°,平面PCD⊥底面ABCD,E、F分别是CD、AB的中点. (1)求证:BE⊥平面PCD. (2)设G为棱PA上一点,且PG=2GA,求证:PC∥平面DGF. |
答案
证明:(1)连接BD 因为底面ABCD为菱形,∠DAB=60° 所以DB=CB 因为E为CD的中点, 所以BE⊥CD 因为平面PCD⊥底面ABCD 且平面PCD∩底面ABCD=CD BE⊂平面ABCD 所以BE⊥平面PCD (2)连接AC交FD与点M,交BE于点N,连接MG 因为底面ABCD为菱形, 且E、F分别为CD,AB的中点, 所以DE∥BF,且DE=BF因此四边形DEBF为平行四边形, 所以BE∥DF. 因为E为CD的中点,所以CN=MN 同理AM=MN, 因此CM=2AM 又在△ACP中,PG=2GA 所以PC∥MG 又因为PC⊄平面DGF,GM⊂平面DGF, 所以PC∥平面DGF |
举一反三
如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,D为BC的中点. (1)若平面ABC⊥平面BCC1B1,求证:AD⊥DC1; (2)求证:A1B∥平面ADC1. |
如图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC, (1)求证:BE∥平面PDA; (2)若k为线段PB的中点,求证:Ek⊥平面PDB. |
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,M,N分别为A1B,B1C1的中点. (1)求证BC∥平面MNB1; (2)求证平面A1CB⊥平面ACC1A1. |
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥面ABCD,AD=CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点. (1)证明:PA∥面BDE; (2)证明:面PAC⊥面PDB. |
如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E、F分别是PC、PD的中点,求证: (Ⅰ)EF∥平面PAB; (Ⅱ)平面PAD⊥平面PDC. |
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