如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD为矩形,△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,面PAD⊥面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分别为PC和BD的中点
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如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD为矩形,△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,面PAD⊥面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分别为PC和BD的中点
题型:不详
难度:
来源:
如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD为矩形,△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,面PAD⊥面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分别为PC和BD的中点.
(1)证明:EF
∥
面PAD;
(2)证明:面PDC⊥面PAD.
答案
(1)如图,连接AC,
∵ABCD为矩形且F是BD的中点,
∴AC必经过F.(2分)
又E是PC的中点,
所以,EF
∥
AP.(4分)
∵EF在面PAD外,PA在面内,
∴EF
∥
面PAD(6分)
(2)∵面PAD⊥面ABCD,CD⊥AD,面PAD∩面ABCD=AD,
∴CD⊥面PAD,(8分)
又AP⊂面PAD,
∴AP⊥CD.(9分)
又∵AP⊥PD,PD和CD是相交直线,AP⊥面PCD.(11分)
又AD⊂面PAD,所以,面PDC⊥面PAD.(12分)
举一反三
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(1)证明:PA
∥
平面BDE;
(2)求二面角B-DE-C的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=BB
1
=a,
A
B
1
=
B
1
C=
2
a
,E为CD中点.
(1)求证:AB
1
⊥BE;
(2)点F在线段B
1
C上,当
B
1
F
FC
为多少时,AB
1
∥
平面BEF,并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,△ABC是正三角形,侧棱AA
1
⊥平面ABC,点D在BC上,AD⊥C
1
D.
①求证:AD⊥平面BCC
1
B
1
;
②求证:A
1
B
∥
平面ADC
1
.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知AB⊥平面ACD,DE
∥
AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.
(Ⅰ)求证:AF
∥
平面BCE;
(Ⅱ)求证:平面BCE⊥平面CDE.
题型:枣庄一模
难度:
|
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如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点求证:
(1)直线EF
∥
平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
题型:江苏
难度:
|
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