如图,已知四边形ABCD 是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥DC.

如图,已知四边形ABCD 是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥DC.

题型:江苏期末题难度:来源:
如图,已知四边形ABCD 是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAD;
(2)求证:MN⊥DC.
答案
证明:(1)设PD的中点为E,连AE,NE,
则易得四边形AMNE是平行四边形
则MN∥AE,
MN平面PAD,AE平面PAD
所以MN∥平面PAD
(2)∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD
∴PA⊥CD
又AD⊥CD,PA∩DA=A
∴CD⊥平面PAD
∵AE平面PAD
∴CD⊥AE
∵MN∥AE
∴MN⊥DC
举一反三
如图所示,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA= AB,E是PA的中点.
(Ⅰ)判断直线PC与平面BDE的位置关系,并加以证明;
(Ⅱ)求二面角E﹣BD﹣A的大小.
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如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为DC1的中点.
(1)求证:BD1∥平面C1DE;
(2)求三棱锥A﹣BDF的体积.
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如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为DC1的中点.
(1)求证:BD1平面C1DE;
(2)求三棱锥A﹣BDF的体积.
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在多面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,三角形CDE是等边三角形,棱EF∥BC且EF=BC.
(1)证明:FO∥平面CDE;
(2)设BC=CD,证明EO⊥平面CDF.
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如图所示,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.
(1)求证:EF∥平面ABC1D1
(2)求证:EF⊥B1C;
(3)求三棱锥的体积.
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