如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：MN⊥DC．

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如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥DC．

答案

证明：（1）设PD的中点为E，连AE，NE，
则易得四边形AMNE是平行四边形
则MN∥AE，
MN

平面PAD，AE

平面PAD
所以MN∥平面PAD
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD

平面ABCD
∴PA⊥CD
又AD⊥CD，PA∩DA=A
∴CD⊥平面PAD
∵AE

平面PAD
∴CD⊥AE
∵MN∥AE
∴MN⊥DC

举一反三

如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA= AB，E是PA的中点．
（Ⅰ）判断直线PC与平面BDE的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）求二面角E﹣BD﹣A的大小．

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如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，F为DC₁的中点．
（1）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（2）求三棱锥A﹣BDF的体积．

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如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，F为DC₁的中点．
（1）求证：BD₁

平面C₁DE；
（2）求三棱锥A﹣BDF的体积．

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在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF=

BC．
（1）证明：FO∥平面CDE；
（2）设BC=

CD，证明EO⊥平面CDF．

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如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）求证：EF⊥B₁C；
（3）求三棱锥

的体积．

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