如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的

题型：山东省高考真题难度：来源：

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E、E₁、F分别是棱AD、AA₁、AB的中点，
（1）证明：直线EE₁∥平面FCC₁；
（2）求二面角B-FC₁-C的余弦值。

答案

（1）证明：在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
取A₁B₁的中点F₁，连接A₁D，C₁F₁，CF₁，
因为AB=4，CD=2，且AB∥CD，
所以CDA₁F₁，A₁F₁CD为平行四边形，
所以CF₁∥A₁D，
又因为E、E₁分别是棱AD、AA₁的中点，
所以EE₁∥A₁D，
所以CF₁∥EE₁，
又因为平面FCC₁，平面FCC₁，
所以直线EE₁∥平面FCC₁。（2）解：因为AB=4，BC=CD=2，F是棱AB的中点，
所以BF=BC=CF，△BCF为正三角形，
取CF的中点O，则OB⊥CF，
又因为直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
CC₁⊥平面ABCD，所以CC₁⊥BO，
所以OB⊥平面CC₁F，
过O在平面CC₁F内作OP⊥C₁F，垂足为P，连接BP，
则∠OPB为二面角B-FC₁-C的一个平面角，
在△BCF为正三角形中，，
在Rt△CC₁F中，△OPF∽△CC₁F，
∵，
∴，
在Rt△OPF中，，
，
所以二面角B-FC₁-C的余弦值为。