如图,已知菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=O。将菱形ABCD沿对角线AC折起,使BD=3,得到三棱锥B-ACD,(Ⅰ)若点M是棱BC的中点

如图,已知菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=O。将菱形ABCD沿对角线AC折起,使BD=3,得到三棱锥B-ACD,(Ⅰ)若点M是棱BC的中点

题型:北京模拟题难度:来源:
如图,已知菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=O。将菱形ABCD沿对角线AC折起,使BD=
3,得到三棱锥B-ACD,
(Ⅰ)若点M是棱BC的中点,求证:OM∥平面ABD;
(Ⅱ)求二面角A-BD-O的余弦值;
(Ⅲ)设点N是线段BD上一个动点,试确定N点的位置,使得CN=4,并证明你的结论。
答案
(Ⅰ)证明:因为点O是菱形ABCD的对角线的交点,
所以O是AC的中点,
又点M是棱BC的中点,
所以OM是△ABC的中位线,OM∥AB,
因为平面ABD,平面ABD,
所以OM∥平面ABD。 (Ⅱ)解:由题意,OB=OD=3,
因为,所以∠BOD=90°,OB⊥OD,
又因为菱形ABCD,所以OB⊥AC,OD⊥AC,
建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示,

所以
设平面ABD的法向量为(x,y,z),
则有即:
令x=1,则,所以
因为AC⊥OB,AC⊥OD,所以AC⊥平面BOD,
平面BOD的法向量与AC平行,
所以平面BOD的法向量为

因为二面角A-BD-O是锐角,
所以二面角A-BD-O的余弦值为(Ⅲ)解:因为N是线段BD上一个动点,设

所以

,即
解得
所以N点的坐标为(0,2,1)或(0,1,2)。
举一反三
如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AA1=2,
(1)求证:C1D∥平面ABB1A1
(2)求二面角D-A1C1-A的余弦值。
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如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是棱AB的中点,BC=1,AA1=
(1)求证:BC1∥平面A1DC;
(2)求二面角D-A1C-A的大小。
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如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点。
(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由。
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以下四个命题:
①PA、PB是平面α的两条长度相等的斜线段,则它们在平面α内的射影的长度必相等;
②平面α内的两直线l1,l2,若l1,l2均与平面β平行,则α∥β;
③若平面α内有无数个点到平面β的距离相等,则α∥β;
④α、β为两相交平面,且α不垂直于β,α内有一定直线l,则在平面β内有无数条直线与垂直。
其中正确的命题的个数是[     ]
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:0128 模拟题难度:| 查看答案
如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AA1=2,
(1)求证:C1D∥平面ABB1A1
(2)求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值。
题型:0128 模拟题难度:| 查看答案
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