由于在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BE⊥平面ABCD, 则AB,BC,BE两两垂直, 故可以B为原点建立如图所示空间直角坐标系B-xyz.
∵AB=BC=BE=2AD=2, 则B(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),D(1,2,0),E(0,0,2). (Ⅰ)∵=(-1,-2,2),=(2,-2,0) ∴•=(-1)×2+(-2)×(-2)=2, ||==3, ||==2 ∴cos<,>== 故异面直线DE与AC所成角的大小为arccos; (Ⅱ)假设线段CE上存在这样的点F,不妨设F(a,0,2-a)(0≤a≤2) 则=(1,2,0),=(a,0,2-a)
若设平面BDF的法向量为=(x,y,z) 故有,则 ∴平面BDF的一个法向量为=(2,-1,-) ∵在平面ADE中,=(-1,-2,2),=(1,0,0) 同理可得平面ADE的一个法向量为=(0,1,1) 由于平面BDF⊥平面ADE,则⊥, 即•=2×0+(-1)×1+(-)×1=0 解得a=-2,由于点F在线段CE上,-2∉{a|0≤a≤2} 故在线段CE上不存在点F,使得平面BDF⊥平面ADE. |