已知四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AD=CD=6,∠BAC=60°,E为AC的中点;现将△ACD沿对角线AC折起,使点D在平面ABC上的射影H落在BC上

已知四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AD=CD=6,∠BAC=60°,E为AC的中点;现将△ACD沿对角线AC折起,使点D在平面ABC上的射影H落在BC上

题型:不详难度:来源:
已知四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AD=CD=


6
,∠BAC=60°,E为AC的中点;现将△ACD沿对角线AC折起,使点D在平面ABC上的射影H落在BC上.
(1)求证:AB⊥平面BCD;
(2)求三棱锥D-ABE的体积.
答案
(1)证明:∵∠B=90°
∴AB⊥BC
∵DH⊥平面ABC,AB⊂面ABC
∴AB⊥DH
而BC∩DH=H,BC,DH⊂面BCD
∴AB⊥面BCD…(5分)
(2)∵AB⊥面BCD,CD⊂面BCD
∴AB⊥CD
又∵AD⊥CD,AB∩AD=A,AB,AD⊂面ABD
∴CD⊥面ABD,而BD⊂面ABD
∴CD⊥BD
∵CD=


6
,∴AC=


2
CD=2


3

∴BC=ACsin60°=2


3
×


3
2
=3
∴BD=


BC2-CD2
=


3

在Rt△BCD中,DH=
BD•CD
BC
=


2
…(10分)
∵DH⊥面ABC,AE=
1
2
AC=


3
,AB=ACcos60°=


3

∴VD-ABE=
1
3
S△ABE•DH=
1
3
×
1
2
AB•AE•sin60°•DH=


6
4
…(12分)
举一反三
在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BE⊥平面ABCD,AB=BC=BE=2AD=2.
(Ⅰ)求异面直线DE与AC所成角的大小;
(Ⅱ)在线段CE上是否存在点F,使平面BDF⊥平面ADE,若存在,确定点F的位置,若不存在,请说明理由.
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如图:直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°.E为BB1的中点,D点在AB上且DE=


3

(Ⅰ)求证:CD⊥平面A1ABB1
(Ⅱ)求三棱锥A1-CDE的体积.
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如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形,其中BA⊥AD,CD⊥AD,CD=AD=2AB,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.
(1)求证:BE平面PAD;
(2)若AP=2AB,求证:BE⊥CD.
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如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等边三角形,侧棱AA1⊥平面ABC,AB=2,AA1=2


3
,D、E分别为AA1、BC1的中点.
(Ⅰ)求证:DE⊥平面BB1C1C;
(Ⅱ)求三棱锥C-BC1D的体积.
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已知矩形ABCD中AB=3,BC=a,若PA⊥平面AC,在BC边上取点E,使PE⊥DE,则满足条件的E点有两个时,a的取值范围是______.
题型:不详难度:| 查看答案
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