(I)∵BF⊥平面ACE, ∴BF⊥AE, ∵二面角D-AB-E为直二面角, ∴平面ABCD⊥平面ABE,又BC⊥AB,∴BC⊥平面ABE,∴BC⊥AE, 又BF⊂平面BCE,BF∩BC=B,∴AE⊥平面BCE.
(II)连接AC、BD交于G,连接FG, ∵ABCD为正方形,∴BD⊥AC, ∵BF⊥平面ACE,BG⊥AC,⇒AC⊥平面BFG, ∴FG⊥AC,∠FGB为二面角B-AC-E的平面角,由(I)可知,AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB, 又AE=EB,AB=2,AE=BE=, 在直角三角形BCE中,CE==,BF=== 在正方形中,BG=,在直角三角形BFG中,sin∠FGB=== ∴二面角B-AC-E为arcsin.
(III)由(II)可知,在正方形ABCD中,BG=DG,D到平面ACE的距离等于B到平面ACE的距离,BF⊥平面ACE,线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离,即为D到平面ACE的距离所以D到平面的距离为=. 另法:过点E作EO⊥AB交AB于点O.OE=1. ∵二面角D-AB-E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD. 设D到平面ACE的距离为h, ∵VD-ACE=VE-ACD,∴S△ACB•h=S△ACD•EO. ∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.∴h=== ∴点D到平面ACE的距离为.
解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴, 过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图. ∵AE⊥面BCE,BE⊂面BCE,∴AE⊥BE, 在Rt△AEB中,AB=2,O为AB的中点, ∴OE=1.∴A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),=(1,1,0),=(0,2,2) 设平面AEC的一个法向量为=(x,y,z), 则,即, 解得, 令x=1,得=(1,-1,1)是平面AEC的一个法向量. 又平面BAC的一个法向量为=(1,0,0), ∴cos(,)===. ∴二面角B-AC-E的大小为arccos (III)∵AD∥z轴,AD=2,∴=(0,0,2), ∴点D到平面ACE的距离d=||•|cos<,>===. |